Уравнения в целых числах

Уравнения в целых числах - это уравнения, у которых корни являются целыми числами. Уравнения в натуральных числах являются частным случаем уравнений в целых числах и решаются теми же самыми методами.

Целые числа отличаются от остальных наличием свойства делимости. Именно поэтому использование делимости - основной способ решения уравнений в целых числах.

Определение делимости. Число a делится на число b если существует число c такое, что a=bc.

Способы решения уравнений в целых числах

Способ 1: перебор

Самым очевидным способом решить уравнение в целых числах - это перебрать все возможные варианты.

Пример 1: Решите уравнение xy=14 в целых числах

Способ 2: общие делители

Если в уравнении все слагаемые кроме одного имеют общий делитель, то и это слагаемое имеет тот же делитель.

Пример 2: Решить в натуральных числах 5x+4y=22

Пример 3: Решить уравнение 10х+10у=2019 в целых числах.

Способ 3: представление в виде произведения

Пример 4: Решить уравнение xy=x+y+3 в целых числах

Способ 4: рассмотрение остатков

Если не удается представить выражения в виде произведения или найти общие делители, то имеет смысл рассмотреть остатки при делении на различные числа.

Чаще всего мы сталкиваемся с остатком при деление на 2, который показывает, является ли число четным или нечетным. На четности или нечетности построено множество задач, но здесь мы рассмотрим остатки при делении на другие числа.

Замечание 1: Степени чисел чаще всего дают намного меньше остатков, чем сами числа.

Рассмотрим остатки квадратов при делении на 3, 4, 5. Например, деление на 3. Все числа при делении на 3 можно разбить на 3 группы с разными остатками: 0, 1 и 2.

Как мы видим, числа при делении на 3 имеют три возможных остатка, а их квадраты всего два.

Пример 5: Докажите, что уравнение 3x²+2=y² нельзя решить в целых числах.

Способ 5: оценка минимума или максимума

Пример 6: Докажите, что уравнение  x/y + y/z + z/x = 1  неразрешимо в натуральных числах.

Замечание 2: Для целых чисел всегда работают только три действия: сложение, вычитание и умножение. Поэтому уравнения обычно надо приводить к виду, где есть только эти 3 действия. Кроме способа 5!

Пример 7: доказать, что длина диагонали квадрата со стороной 1 является иррациональным числом